张涛似乎是久了，也不管林叶能不能完全听懂这种具体的细分方向，忍不住开启了吐槽模式：

【我现在的困境是，我想证明在临界耗散的情况下，解是全局光滑的。我尝试用能量估计法去控制梯度的增长，但是非线性项里的那个里斯变换太噁心了，它的交换子估计我一直做不好。每次算到最后，不等式右边的项总是比左边的耗散项高一阶，根本闭合不了！】

【我都卡了三个月了，下学期再搞不出来的话，我毕业课题都没时间搞，到时候铁定延毕，真的是mmp。】

看著屏幕上张涛发来的大段吐槽，林叶微微一愣。

二维临界表面准地转方程？

也就是sqg方程。

这个方程他在上次的数学物理修炼空间的资料里学习过，它虽然是二维模型，但在数学结构上与三维欧拉方程惊人地相似，是偏微分方程领域极其热门的研究对象。

而自从在那次的修炼空间中学习了一大堆的知识之后，他就有一段时间没有好好研究过偏微分方程和流体力学这方面的问题了。

於是乎，张涛说的这些东西，就让他的脑子里面自动转了起来。

“临界耗散————梯度估计·————交换子无法闭合————”

林叶趴在床上，闭上眼睛，脑海中那已经来到105%提升的数学能力开始飞速运转。

如果不使用能量估计法呢？

对於这种临界情况下的梯度控制，传统的能量积分往往会失效，因为临界意味著耗散刚好够用，容不得半点浪费。

突然，一个极其冷门但精妙的技巧在他的脑海中浮现。

“连续模方法————”

林叶猛地睁开眼睛，手指在屏幕上快速敲击起来。

林叶：【张学长，关於临界sqg的梯度估计，你是不是一直试图直接估计l^p

范数或者sobolev范数？】

张涛：【对啊！不都是这么做的吗？】

林叶：【要不你换个思路？不要直接估计范数。试一下kiselev—nazarov—

volberg提出的连续模方法？】

林叶：【具体的思路是，你不去证明梯度的范数不爆炸，而是证明解θ（，t）

始终保持某种特定的连续性模w（ξ）。如果能构造出一个特殊的模函数，使得它满足即便在非线性项最坏的拉伸情况下，耗散项依然能压制住这种破坏，那么解就一定是全局光滑的。】

林叶：【这种方法不需要精细的交换子估计，它把积分不等式的问题转化成7一个关於模函数的一维常微分不等式问题。对於临界耗散，这应该比能量法更有效。】

发完这段话，林叶就没有再多说什么，毕竟他也只是提供一个思路。

就像是当初他能够把那篇论文解决，也是张涛给他推荐的那本书带来的灵感，现在就当是还一次张涛当初帮的那个忙。

然而，手机那头的张涛，却足足沉默了五分钟。

他死死盯著电脑屏幕上的“连续模方法”这几个字，瞳孔剧烈震动。

他立马切换到瀏览器，在搜索框里输入了这个关键词。

几篇相关的顶级数学论文跳了出来，虽然是用於其他方程的，但其核心思想与林叶描述的一模一样。

“把积分估计转化成一维常微分不等式————”张涛喃喃自语，大脑飞速推演o

如果用这个方法，那个让他痛不欲生的里斯变换交换子，確实就被巧妙地绕过去了！

“臥槽————”

“好像还真可以？！”

张涛震惊了。

他纠结了那么久的问题，就被那位高三学弟给解开了？

这位学弟短短一个月没见，又完成了一次超进化？

他颤抖著手，重新切换到了聊天框，回復了一句：【我这几天就试试！】

【要是真成功了，我回头给你磕一个】

林叶哭笑不得地回覆：【不至於不至於，您还是先好好过年吧！】

【我也提前说一声新年快乐了。】