45分的大题！

往年这种题，顶尖学神也要花二三十分钟才能做完。

这个江辰……三分钟？

还用了大学数学的方法？

她深吸一口气，强迫自己冷静，继续看江辰做第二题。

……

【第二题（45分）】

【设s是平面上有限个点的集合，其中任意三点不共线。称一个“风箏”是由四个点a,b,c,d∈s组成的四边形，满足ab=ad且cb=cd（即两组邻边分別相等）。证明：如果s中任意四个点都能构成一个风箏，则s的所有点共圆。】

江辰看完题，愣了一下。

“风箏四边形……共圆……”

他脑子里瞬间闪过好几个几何定理。

“这不是显然的吗？”

他提笔就写：

“证：取s中任意两点a,b，由条件，对任意另外两点c,d∈s{a,b}，四边形abcd是风箏。”

“特別地，取c为s中异於a,b的任意一点，则存在d（可能与c重合？不，d需异於a,b,c）使ab=ad且cb=cd。”

“但条件说『任意四个点都能构成一个风箏』，这意味著对任意四点，其中某两个作为『肩点』（等邻边的公共端点），另外两个作为『翼点』。”

“考虑任意三点a,b,c，由条件存在d使ab=ad且cb=cd，即d在ab的中垂线和bc的中垂线交点上，故d是△abc外心？不对，外心是三条中垂线交点，这里只用到两条……”

“等等，这题需要仔细分析结构。”

江辰停笔，思考了几秒。

“任意四点都能构成风箏，意味著对任意四点，其中两点是某等腰三角形的顶点，另外两点是另一个等腰三角形的顶点，且这两个等腰三角形共用底边？不对，风箏是四边形，两组等邻边。”

“设四点a,b,c,d，风箏结构有两种可能：要么a、c是『肩点』（ab=ad, cb=cd），要么b、d是『肩点』（ba=bc, da=dc）。”

“由任意性，对任意三点a,b,c，考虑第四点d（取s中另一点），则四点a,b,c,d构成风箏。若a是肩点，则ab=ad且cb=cd；若c是肩点，则ba=bc且da=dc；若b或d是肩点同理。”

“这会导致一系列等量关係……”

江辰在草稿纸上画了几个图。

十秒后，他眼睛一亮。

“有了！”

“引理：若任意四点构成风箏，则对任意三点a,b,c，有ab=ac或ba=bc或ca=cb至少一组成立。”

“证明：取第四点d，若a是肩点，则ab=ad且cb=cd，但这对b,c的关係无直接约束。需另寻思路……”

“更直接的方法：考虑任意三点a,b,c，取s中另一点d，由条件四点构成风箏。若a、c是肩点，则ab=ad且cb=cd，这推出ab=ad，cb=cd，但b、d关係未知。”

“实际上，由风箏定义，四边形abcd中，要么a、c是对角线交点？不，风箏通常指有一组对角相等且邻边相等的四边形……”

江辰皱了皱眉。

这题……有点绕。

但他很快找到了突破口。

“换个角度：风箏四边形本质上是两个等腰三角形共用底边。”

“设四点a,b,c,d，若a、c是肩点，则△abd和△cbd都是等腰三角形（ab=ad, cb=cd），且共用底边bd。”

“所以bd是ab和ad的中垂线，也是cb和cd的中垂线？不对，中垂线是直线……”

“实际上，由ab=ad，点a在bd的中垂线上；由cb=cd，点c在bd的中垂线上。所以a、c都在bd的中垂线上，即ac⊥bd且bd中点在ac上？不，中垂线是垂直平分线……”

江辰感觉自己被绕进去了。

“妈的，几何题就是麻烦。”

他决定用解析几何暴力破解。

“建立坐標系，设点坐標，用距离公式表达条件，然后证明这些点共圆……”

“但这样计算量太大，而且『任意四点』条件很难用解析式表达。”

江辰想了想，又换了个思路。

“用反证法：假设s不共圆，则存在四点不共圆，推出矛盾。”

“取不共圆的四点a,b,c,d，由条件它们构成风箏。设a、c是肩点，则ab=ad且cb=cd，即a在bd的中垂线上，c也在bd的中垂线上，所以a、c关於bd中垂线对称？不对，只是都在同一条直线上……”

“等等，如果a、c都在bd的中垂线上，那么ac是bd的中垂线？那b、d关於ac对称，於是ab=ad, cb=cd自然成立……”

“所以只要a、c在bd的中垂线上，四边形abcd就是风箏。”

“那么问题转化为：如果任意四点都满足存在两点在另外两点连线的中垂线上，则所有点共圆。”

江辰眼睛越来越亮。

“这就是突破口！”

他提笔疾书：

“证明：假设s不共圆，则存在四点a,b,c,d不共圆。不妨设a、b、c不共圆（因为四点不共圆则必有三点不共圆，再加一点）。”

“取第四点d，由条件a,b,c,d构成风箏。分情况討论……”

三分钟，第二题搞定。

江辰看了眼时间：9:46。

两题，六分钟。

刘月站在江辰身后，已经麻了。

第二题，她作为出题组一员，知道这道题的难度……这是组合几何的经典难题，改编自一道imo预选题。

標准答案写了整整两页，用了复杂的分类討论和反证法。

而这个江辰……又三分钟搞定？

而且他的解法，比標准答案更简洁、更本质？

刘月感觉自己这几十年的数学白学了。

……